Definición de funciones...función matematica..!°

Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de
Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:
Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacio ...nados con elementos de Y, es decir,
Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y.

Definición de Notación en la Función..!!!

La notación de la función es una manera de escribir funciones que aclara el nombre de la función, de las variables independientes, de las variables dependientes, y de la regla de la transformación.

En el ejemplo a la derecha, f(x) es la variable dependiente, f es el nombre de función, x es la variable independiente, y 3x + 2 es la regla de la transformación.

Definicion Gráfica de una Función..!°°

En matemáticas, la gráfica de una función:

es la visualización de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen mediante su representación iconográfica. También puede definirse como el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f; es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y.

Las únicas funciones que se pueden visualizar de forma completa son las de una sola variable, representables como un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una curva.

En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma únivoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes de la función para los que los valores de todas las variables excepto dos permanezcan constantes.

El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma pero con dominios y codominios diferentes.

EJEMPLOS:

• La gráfica de la función

es {(1,a), (2,b), (3,c)}.

• La gráfica del polinomio cúbico en la recta real

es {(x,x³-9x) : donde x es un número real}. Si el conjunto se representa en un plano cartesiano, el resultado es como el de la imagen.

Función Cuadrática..!!

En matemáticas una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:

donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano XY haciendo:

esto es:

Definicion de Funcion Cubica..!!

Función cúbica: La función cúbica se define como polinomio de tercer grado; tiene la forma:

 ; donde a es distinto de 0.

El domino y la imagen de esta función pertenecen a los números reales.

Para hallar las raíces:

Se iguala a cero:

Se factorea hasta dejar − x² de un miembro

Ésta última igualdad será la fórmula a utilizar

La función cúbica se define como polinomio de tercer grado;
tiene la forma:donde a es distinto de 0.El domino y la imagen de esta función pertenecen a los números reales.
Para hallar las raíces:
Se iguala a cero:
Se factorea hasta dejar − x2 de un miembro.

Definicion de Inecuaciones..!

Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por
tener los signos de desigualdad. Siendo  expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede
tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad. A este
conjunto se le conoce como Intervalo.
En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a < b significa
que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que
b), llamadas inecuaciones no estrictas.
Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que
tomen las variables por las que está definida, entonces se hablará de una
inecuación "absoluta" o "incondicional" (véase identidad).
Si por el contrario, el signo comparativo es el mismo sólo para ciertos
valores de las variables, pero se invierte o cambia para otros valores, será una
inecuación "condicional".
El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se
les suma o resta el mismo número real, o si se les multiplica o divide por un
número positivo; en cambio, se invierte si a ambos miembros se les
multiplica o divide por un número negativo.
La notación a >> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b. El significado de esto puede variar, refiriéndose a una diferencia entre ambos indefinida. Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación arroje a luz un cierto resultado.

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION

El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x;  esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por todos los números Reales.

Como los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los valores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la función para un valor de x, su resultado nos da un número Real. Por ejemplo la función:

f(x) =

Para buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué valores de x la función produce como resultado un número Real. Se observa, para el ejemplo que al asignarle a x un número negativo, la expresión se nos presenta como una raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no es posible; no es posible hallar dentro de los Reales un número que satisfaga la expresión; por lo tanto el dominio de la función está constituido por todos los números mayores o iguales que cero; expresado como:

En general se pueden seguir las siguientes recomendaciones para obtener el dominio de una función o de una expresión algebraica:

• No puede haber una raíz cuadrada ( ó cualquier raíz par ) negativa, pues se trataría de un número imaginario que no hace parte de los Reales.
• Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la expresión queda indeterminada.

El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). También se puede expresar como todos los valores de salida de la función.

Por ejemplo:

Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo con cualquier número, positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores resultantes (es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que el rango está conformado por el cero y todos los números positivos.

Al graficar la función se obtiene:

Para obtener el rango desde el punto de vista gráfico, debemos poner nuestra atención en el eje y. Se puede ver que el rango está dado por valores mayores o iguales que cero, pues la parábola que lo representa esta ubicada del eje x hacia arriba. Con esto, y lo explicado anteriormente el rango es:

Las funciones tienen gran cantidad de aplicaciones, en la ingeniería por ejemplo cuando la resistencia de un material está en función de las horas de trabajo, en la desintegración radiactiva cuando esta depende del tiempo transcurrido, así como las tasas de crecimiento poblacional, en los cálculos de tasas de interés, etc.